试卷是纸张答题，在纸张有考试组织者检测考试者学习情况而设定在规定时间内完成的试题。 也可以是资格考试中用以检验考生有关知识能力而进行人才筛选的工具， 以下是为大家整理的关于2020年北京中考数学试卷及答案解析4篇 , 供大家参考选择。
2020年北京中考数学试卷及答案解析4篇
2020年北京中考数学试卷及答案解析篇1
2019年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为
（a）ac6850fbcaa75cfa29ac92f82237ad0b.png （b）e5c2d043fadddbdcece29966b06c01c2.png
（c）5ad5cd793882a37bdf8adc51550cc86c.png （d）2915e86dc2e430c8cad6908f09104684.png
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是
（a） （b） （c） （d）
3．正十边形的外角和为
（a）02e953e20369db5d82ff9402bb44da19.png （b）fc288caea7a50869f8812bfc7ec19a49.png （c）9f91c00eb58768a8b31a9778f47ab3a5.png （d）3667c2a8c8fb2b604c5a248db4508d1f.png
4．在数轴上，点a，b在原点o的两侧，分别表示数a，2，将点a向右平移1个单位长度，得到点c．若co=bo，则a的值为
（a）1b6b3e808a3cc205dfcbe4e119f59025.png （b）02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png （c）768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png （d）c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png
5．已知锐角∠aob
word/media/image17_1.png如图，
（1）在射线oa上取一点c，以点o为圆心，oc长为半径作，交射线ob于点d，连接cd；
（2）分别以点c，d为圆心，cd长为半径作弧，交于点m，n；
（3）连接om，mn．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
（a）∠com=∠cod （b）若om=mn，则∠aob=20°
（c）mn∥cd （d）mn=3cd
6．如果5be0a54c7353c3c552dcf78e11f9f302.png，那么代数式c9dffbde806c45bf36510d3e09195c58.png的值为
（a）1b6b3e808a3cc205dfcbe4e119f59025.png （b）768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png （c）1 （d）3
7．用三个不等式46fa7900cc397f3a4b3fa2e72d6885e7.png，6f5e3a8e1c8466c3503af36bfbff2002.png，94bbf4481ba0571005e3d3e5d8aeec26.png中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为
（a）0 （b）1 （c）2 （d）3
8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
word/media/image33_1.png
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间
word/media/image34.gif这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间
word/media/image35.gif这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间
所有合理推断的序号是
（a）①word/media/image34.gif （b）word/media/image36.gifword/media/image35.gif
（c）word/media/image37.gifword/media/image36.gifword/media/image34.gif （d）word/media/image37.gifword/media/image36.gifword/media/image34.gifword/media/image35.gif
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若分式8f051f6ebb93dbcd318a1d77abb69d1d.png的值为0，则9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的值为d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png.
10．如图，已知533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png，通过测量、计算得533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积约为d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.pngcm2.（结果保留一位小数）
11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png.（写出所有正确答案的序号）
word/media/image42_1.pngword/media/image43_1.pngword/media/image44_1.png
12．如图所示的网格是正方形网格，则cf938cba84f57deba69a2de72c248f4b.png＝69d26fc2b45851b16c3e70a612f4b29d.png°（点a，b，p是网格线交点）.
13．在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.pnga34bfef0821418830710e6da1c212c75.png8dfb7f394799e1adc85d5506f463c35d.png在双曲线220ba12846d63461fed9c9329ce5bef8.png上．点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的对称点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png在双曲线336e7f843775ccf5e9a5f0a1051867be.png上，则d62c36215ac6edfc1fc66a77baf561fd.png的值为d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png.
14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png．
word/media/image57_1.png
15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差2821130ecb31647a5f5a06ff6dff0ec1.png．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，5499493768447afb7e8fc8f1af32eb51.png4，9，5499493768447afb7e8fc8f1af32eb51.png5．记这组新数据的方差为273fc50820e6db2243c270d594f45606.png，则273fc50820e6db2243c270d594f45606.pngd838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png2821130ecb31647a5f5a06ff6dff0ec1.png. (填“cedf8da05466bb54708268b3c694a78f.png”，“43ec3e5dee6e706af7766fffea512721.png”或“524a50782178998021a88b8cd4c8dcd8.png”)
16．在矩形abcd中，m，n，p，q分别为边ab，bc，cd，da上的点（不与端点重合）．
对于任意矩形abcd，下面四个结论中，
word/media/image37.gif存在无数个四边形mnpq是平行四边形；
word/media/image36.gif存在无数个四边形mnpq是矩形；
word/media/image34.gif存在无数个四边形mnpq是菱形；
word/media/image35.gif至少存在一个四边形mnpq是正方形．
所有正确结论的序号是d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：3af014c96421af57c4468eaef81e9c8c.png.
18．解不等式组：6d99546b028d80f8d759388301d44f25.png
19．关于x的方程2828f096113e05df5535fa1c3d368788.png有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
word/media/image69_1.png20．如图，在菱形abcd中，ac为对角线，点e，f分别在ab，ad上，be=df，连接ef．
（1）求证：ac⊥ef；
（2）延长ef交cd的延长线于点g，连接bd交ac于点o，若bd=4，tang=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，求ao的长．
21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
word/media/image71_1.png
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
word/media/image72_1.png
d．中国的国家创新指数得分为69.5.
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png的上方．请在图中用“1a74909b6cbaa4532a76d83b72c12de0.png”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png．
①相比于点a，b所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点b，c所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
22．在平面内，给定不在同一直线上的点a，b，c，如图所示．点o到点a，b，c的距离均等于a（a为常数），到点o的距离等于a的所有点组成图形g，2deec672eabca123e4a96c1b83d7a268.png的平分线交图形g于点d，连接ad，cd．
（1）求证：ad=cd；
（2）过点d作deb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pngba，垂足为e，作dfb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.pngbc，垂足为f，延长df交图形g于点m，连接cm．若ad=cm，求直线de与图形g的公共点个数．
word/media/image77_1.png
23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（15ab2d2b0b92c13f328635e5c4bdbe64.png）天背诵第二遍，第（6d74b25929611d29fc89054bd1679d9f.png）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，f70c69d0df098c41957ab296d9c91f87.png1，2，3，4；
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入a4f66ba447cf765d4612169b07207e8d.png补全上表；
（2）若709a28004ca4b41affb5b98ea844afba.png，3fec3bb7d5a5a6be9bd113ae7d765a1d.png，ed91e78074eba84eddbeb6529ac009a0.png，则aa51775bcd244abf06e709f0cd80e614.png的所有可能取值为e902c94ed32bd8b284d8330cbdfbbd91.png；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png首．
24．如图，p是与弦ab所围成的图形的外部的一定点，c是上一动点，连接pc交弦ab于点d．
word/media/image98_1.png
小腾根据学习函数的经验，对线段pc，pd，ad的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点c在上的不同位置，画图、测量，得到了线段pc，pd，ad的长度 的几组值，如下表：
在pc，pd，ad的长度这三个量中，确定d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png的长度是自变量，d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png的长度和 d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.png的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，画出（1）中所确定的函数的图象；
word/media/image100_1.png
（3）结合函数图象，解决问题：当pc=2pd时，ad的长度约为d838e8b4d140141a23033c6030ab4c92.pngcm．
25. 在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，直线l：ab4e7c256fd6b65bdab5778b610a0983.png与直线12672189a4878b348df919326357f722.png，直线f33c3b919ea1fa8b633840e8fa47f4ce.png分别交于点a，b，直线12672189a4878b348df919326357f722.png与直线f33c3b919ea1fa8b633840e8fa47f4ce.png交于点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png．
（1）求直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与415290769594460e2e485922904f345d.png轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段fdd80e6f8adba79df260ed2f41b09d79.png围成的区域（不含边界）为61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png．
word/media/image37.gif当38c9abaca4c0e762d42281e967e45959.png时，结合函数图象，求区域61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png内的整点个数；
word/media/image36.gif若区域61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png内没有整点，直接写出8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的取值范围．
26．在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，抛物线d569c8b481e6cf0023f83d0925ac7c89.png与415290769594460e2e485922904f345d.png轴交于点a，将点a向右平移2个单位长度，得到点b，点b在抛物线上．
（1）求点b的坐标（用含0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点98b7541cbfdd48e8fd14b2c26fcfdd41.png，dbac98d91ebc707385100853e0bd4e77.png．若抛物线与线段pq恰有一个公共点，结合函数图象，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围．
27．已知aa4cf28602e658511e05977d7f8a33a1.png，h为射线oa上一定点，23dc33a68dc49beec2d81454d5e28ac4.png，p为射线ob上一点，m为线段oh上一动点，连接pm，满足1d0aed015742e6d00b24bc64d5463c70.png为钝角，以点p为中心，将线段pm顺时针旋转ae439bd97d6f115a547f296cd73dfb7a.png，得到线段pn，连接on．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：f093952a5bf6fa463ae78e057f95b5df.png；
（3）点m关于点h的对称点为q，连接qp．写出一个op的值，使得对于任意的点m总有on=qp，并证明．
word/media/image125_1.png
28．在△abc中，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png分别是533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png两边的中点，如果上的所有点都在△abc的内部或边上，则称为△abc的中内弧．例如，下图中是△abc的一条中内弧．
word/media/image130_1.png
（1）如图，在rt△abc中，383a96795570671361f5589a1e920889.png分别是1c82f1f08f1e0404dda6a37e41292e65.png的中点．画出△abc的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
word/media/image133_1.png
（2）在平面直角坐标系中，已知点8fdaf27947b92b51b958cd1f3fea90a4.png，在△abc中，9efe378b6b25f199db311a009051234b.png分别是1c82f1f08f1e0404dda6a37e41292e65.png的中点．
word/media/image37.gif若fde488b9c0adec0c51f27da99210f7c0.png，求△abc的中内弧所在圆的圆心44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的纵坐标的取值范围；
word/media/image36.gif若在△abc中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在△abc的内部或边上，直接写出t的取值范围．
2019年北京市中考数学答案
一. 选择题.
二. 填空题.
9. 1 10. 测量可知 11. ①② 12. 45°
13. 0 14. 12 15. =
16. ①②③
三. 解答题.
17．
【答案】5667b0768fd0f33401cb09339a1bfd22.png
18．
【答案】9095c292773d0ec387c454840855fd47.png
19.
【答案】m=1，此方程的根为97a9302ea1a04cbdb9f2d8b415108666.png
20.
【答案】
（1）证明：∵四边形abcd为菱形
∴ab=ad，ac平分∠bad
∵be=df
∴8323ba3266a19c69922877f5dd0a46cc.png
∴ae=af
∴△aef是等腰三角形
∵ac平分∠bad
∴ac⊥ef
（2）ao =1.
21.
【答案】
（1）17
（2）
word/media/image143_1.png
（3）2.7
（4）①②
22.
【答案】
（1）
∵bd平分2deec672eabca123e4a96c1b83d7a268.png
∴f8474b4f95a031b76d006d679dd5dec0.png
∴ad=cd
（2）直线de与图形g的公共点个数为1.
23．
【答案】
（1）如下图
（2）4，5，6
（3）23
24．
【答案】
（1）ad， pc，pd；
（2）
（3）2.29或者3.98
25.
【答案】
（1）7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png
（2）①6个
②48cb7f8ad3863745a33b43ce329fa91e.png或f15db92fb88fcb2dcae9c32b3c54d991.png
26.
【答案】
（1）7338acaa39a256612808210e57bb080b.png；
（2）直线a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png；
（3）ee28b2659b82d9f276891f665b7de1cb.png．
27.
【答案】
（1）见图
（2）
在△opm中，3355ddd7478c96f410046df7f533f921.png
6fdbe03167599568e87c7a68c7ae71a5.png
cc647288184797fb0c902ae4d5a53cda.png
（3）op=2.
28.
【答案】
（1）如图：
word/media/image165_1.png
47920579cdde937e9d6b75282de6f34e.png
（2）
word/media/image167.gifc091de644e511f64ecf2e8169b6892ae.png或16070ba7f5d3de131e1ca0d4c0e388c3.png；
②283a65bebea3fbc5f991216b7ab82d08.png
2020年北京中考数学试卷及答案解析篇2
2020年河南省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）2的相反数是（ ）
a．﹣2 b． c． d．2
2．（3分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
a． b． c． d．
3．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
a．中央电视台《开学第一课》的收视率
b．某城市居民6月份人均网上购物的次数
c．即将发射的气象卫星的零部件质量
d．某品牌新能源汽车的最大续航里程
4．（3分）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
a．100° b．110° c．120° d．130°
5．（3分）电子文件的大小常用b，kb，mb，gb等作为单位，其中1gb＝210mb，1mb＝210kb，1kb＝210b．某视频文件的大小约为1gb，1gb等于（ ）
a．230b b．830b c．8×1010b d．2×1030b
6．（3分）若点a（﹣1，y1），b（2，y2），c（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
a．y1＞y2＞y3 b．y2＞y3＞y1 c．y1＞y3＞y2 d．y3＞y2＞y1
7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
a．有两个不相等的实数根 b．有两个相等的实数根
c．无实数根 d．只有一个实数根
8．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
a．500（1 2x）＝7500
b．5000×2（1 x）＝7500
c．5000（1 x）2＝7500
d．5000 5000（1 x） 5000（1 x）2＝7500
9．（3分）如图，在△abc中，∠acb＝90°，边bc在x轴上，顶点a，b的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形ocde沿x轴向右平移，当点e落在ab边上时，点d的坐标为（ ）
a．（，2） b．（2，2） c．（，2） d．（4，2）
10．（3分）如图，在△abc中，ab＝bc，∠bac＝30°，分别以点a，c为圆心，ac的长为半径作弧，两弧交于点d，连接da，dc，则四边形abcd的面积为（ ）
a．6 b．9 c．6 d．3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
12．（3分）已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ．
13．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是 ．
14．（3分）如图，在边长为2的正方形abcd中，点e，f分别是边ab，bc的中点，连接ec，fd，点g，h分别是ec，fd的中点，连接gh，则gh的长度为 ．
15．（3分）如图，在扇形boc中，∠boc＝60°，od平分∠boc交于点d，点e为半径ob上一动点．若ob＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（1），其中a1．
17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：
甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486
502 503 498 497 491 500 505 502 504 505
乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498
502 503 501 490 501 502 511 499 499 501
[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．
质量
频数
机器
485≤x＜490
490≤x＜495
495≤x＜500
500≤x＜505
505≤x＜510
510≤x＜515
甲
2
2
4
7
4
1
乙
1
3
5
7
3
1
[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．
统计量
机器
平均数
中位数
方差
不合格率
甲
499.7
501.5
42.01
b
乙
499.7
a
31.81
10%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．
18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道mp上架设测角仪，先在点m处测得观星台最高点a的仰角为22°，然后沿mp方向前进16m到达点n处，测得点a的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点a距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中ab与半圆o的直径bc在同一直线上，且ab的长度与半圆的半径相等；db与ac垂直于点b，db足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠men三等分，只需适当放置三分角器，使db经过∠men的顶点e，点a落在边em上，半圆o与另一边en恰好相切，切点为f，则eb，eo就把∠men三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点a，b，o，c在同一直线上，eb⊥ac，垂足为点b， ．
求证： ．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2 2x c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点a，b，且oa＝ob，点g为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点g的坐标；
（2）点m，n为抛物线上两点（点m在点n的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点q为抛物线上点m，n之间（含点m，n）的一个动点，求点q的纵坐标yq的取值范围．
22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点d是上一动点，线段bc＝8cm，点a是线段bc的中点，过点c作cf∥bd，交da的延长线于点f．当△dcf为等腰三角形时，求线段bd的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点d在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段bd，cd，fd的长度，得到下表的几组对应值．
bd/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
cd/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.4
0
fd/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点d为的中点时，bd＝5.0cm”．则上表中a的值是 ；
②“线段cf的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段bd的长度作为自变量x，cd和fd的长度都是x的函数，分别记为ycd和yfd，并在平面直角坐标系xoy中画出了函数yfd的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数ycd的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△dcf为等腰三角形时，线段bd长度的近似值（结果保留一位小数）．
23．（11分）将正方形abcd的边ab绕点a逆时针旋转至ab′，记旋转角为α，连接bb′，过点d作de垂直于直线bb′，垂足为点e，连接db′，ce．
（1）如图1，当α＝60°时，△deb′的形状为 ，连接bd，可求出的值为 ；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点b′，e，c，d为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
2020年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）2的相反数是（ ）
a．﹣2 b． c． d．2
【解答】解：2的相反数是﹣2．
故选：a．
2．（3分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
a． b． c． d．
【解答】解：a、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意；
b、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；
c、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；
d、主视图是长方形，左视图是正方形，故本选项符合题意；
故选：d．
3．（3分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
a．中央电视台《开学第一课》的收视率
b．某城市居民6月份人均网上购物的次数
c．即将发射的气象卫星的零部件质量
d．某品牌新能源汽车的最大续航里程
【解答】解：a、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽查，故本选项不合题意；
b、调查某城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；
c、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查），故本选项符合题意；
d、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意．
故选：c．
4．（3分）如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
a．100° b．110° c．120° d．130°
【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵l3∥l4，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，
故选：b．
5．（3分）电子文件的大小常用b，kb，mb，gb等作为单位，其中1gb＝210mb，1mb＝210kb，1kb＝210b．某视频文件的大小约为1gb，1gb等于（ ）
a．230b b．830b c．8×1010b d．2×1030b
【解答】解：由题意得：210×210×210b＝210 10 10＝230b，
故选：a．
6．（3分）若点a（﹣1，y1），b（2，y2），c（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
a．y1＞y2＞y3 b．y2＞y3＞y1 c．y1＞y3＞y2 d．y3＞y2＞y1
【解答】解：∵点a（﹣1，y1）、b（2，y2）、c（3，y3）在反比例函数y的图象上，
∴y16，y23，y32，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故选：c．
7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
a．有两个不相等的实数根 b．有两个相等的实数根
c．无实数根 d．只有一个实数根
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
故选：a．
8．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
a．500（1 2x）＝7500
b．5000×2（1 x）＝7500
c．5000（1 x）2＝7500
d．5000 5000（1 x） 5000（1 x）2＝7500
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1 x）2＝7500，
故选：c．
9．（3分）如图，在△abc中，∠acb＝90°，边bc在x轴上，顶点a，b的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形ocde沿x轴向右平移，当点e落在ab边上时，点d的坐标为（ ）
a．（，2） b．（2，2） c．（，2） d．（4，2）
【解答】解：如图，设正方形d′c′o′e′是正方形ocde沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点a，b的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），
∴ac＝6，oc＝2，ob＝7，
∴bc＝9，
∵四边形ocde是正方形，
∴de＝oc＝oe＝2，
∴o′e′＝o′c′＝2，
∵e′o′⊥bc，
∴∠bo′e′＝∠bca＝90°，
∴e′o′∥ac，
∴△bo′e′∽△bca，
∴，
∴，
∴bo′＝3，
∴oc′＝7﹣2﹣3＝2，
∴当点e落在ab边上时，点d的坐标为（2，2），
故选：b．
10．（3分）如图，在△abc中，ab＝bc，∠bac＝30°，分别以点a，c为圆心，ac的长为半径作弧，两弧交于点d，连接da，dc，则四边形abcd的面积为（ ）
a．6 b．9 c．6 d．3
【解答】解：连接bd交ac于o，
∵ad＝cd，ab＝bc，
∴bd垂直平分ac，
∴bd⊥ac，ao＝co，
∵ab＝bc，
∴∠acb＝∠bac＝30°，
∵ac＝ad＝cd，
∴△acd是等边三角形，
∴∠dac＝∠dca＝60°，
∴∠bad＝∠bcd＝90°，∠adb＝∠cdb＝30°，
∵ab＝bc，
∴ad＝cdab＝3，
∴四边形abcd的面积＝23，
故选：d．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
12．（3分）已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 x＞a ．
【解答】解：∵b＜0＜a，
∴关于x的不等式组的解集为：x＞a，
故答案为：x＞a．
13．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是 ．
【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，
∴p（两次颜色相同），
故答案为：．
14．（3分）如图，在边长为2的正方形abcd中，点e，f分别是边ab，bc的中点，连接ec，fd，点g，h分别是ec，fd的中点，连接gh，则gh的长度为 1 ．
【解答】解：设df，ce交于o，
∵四边形abcd是正方形，
∴∠b＝∠dcf＝90°，bc＝cd＝ab，
∵点e，f分别是边ab，bc的中点，
∴be＝cf，
∴△cbe≌△dcf（sas），
∴ce＝df，∠bce＝∠cdf，
∵∠cdf ∠cfd＝90°，
∴∠bce ∠cfd＝90°，
∴∠cof＝90°，
∴df⊥ce，
∴ce＝df，
∵点g，h分别是ec，fd的中点，
∴cg＝fh，
∵∠dcf＝90°，co⊥df，
∴cf2＝of•df，
∴of，
∴oh，od，
∵oc2＝of•od，
∴oc，
∴og＝cg﹣oc，
∴hg1，
故答案为：1．
15．（3分）如图，在扇形boc中，∠boc＝60°，od平分∠boc交于点d，点e为半径ob上一动点．若ob＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
【解答】解：如图，作点d关于ob的对称点d′，连接d′c交ob于点e′，连接e′d、od′，
此时e′c e′c最小，即：e′c e′c＝cd′，
由题意得，∠cod＝∠dob＝∠bod′＝30°，
∴∠cod′＝90°，
∴cd′2，
的长l，
∴阴影部分周长的最小值为2．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（1），其中a1．
【解答】解：
＝a﹣1，
把a1代入a﹣11﹣1．
17．（9分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：
甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486
502 503 498 497 491 500 505 502 504 505
乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498
502 503 501 490 501 502 511 499 499 501
[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表．
质量
频数
机器
485≤x＜490
490≤x＜495
495≤x＜500
500≤x＜505
505≤x＜510
510≤x＜515
甲
2
2
4
7
4
1
乙
1
3
5
7
3
1
[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．
统计量
机器
平均数
中位数
方差
不合格率
甲
499.7
501.5
42.01
b
乙
499.7
a
31.81
10%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ 501 ，b＝ 15% ；
（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．
【解答】解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501，
b＝3➗20＝15%，
故答案为：501，15%；
（2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，
18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道mp上架设测角仪，先在点m处测得观星台最高点a的仰角为22°，然后沿mp方向前进16m到达点n处，测得点a的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点a距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【解答】解：（1）过a作ad⊥pm于d，延长bc交ad于e，
则四边形bmnc，四边形bmde是矩形，
∴bc＝mn＝16m，de＝cn＝bm＝1.6m，
∵∠aed＝90°，∠ace＝45°，
∴△ace是等腰直角三角形，
∴ce＝ae，
设ae＝ce＝x，
∴be＝16 x，
∵∠abe＝22°，
∴tan22°0.40，
∴x≈10.7（m），
∴ad＝10.7 1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点a距离地面的高度约为12.3m；
（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，
∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【解答】解：（1）∵y1＝k1x b过点（0，30），（10，180），
∴，解得，
k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则k2＝25×0.8＝20；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，y1＝15x 30，y2＝20x．
当健身8次时，
选择方案一所需费用：y1＝15×8 30＝150（元），
选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中ab与半圆o的直径bc在同一直线上，且ab的长度与半圆的半径相等；db与ac垂直于点b，db足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠men三等分，只需适当放置三分角器，使db经过∠men的顶点e，点a落在边em上，半圆o与另一边en恰好相切，切点为f，则eb，eo就把∠men三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点a，b，o，c在同一直线上，eb⊥ac，垂足为点b， ab＝ob，en切半圆o于f ．
求证： eb，eo就把∠men三等分 ．
【解答】解：已知：如图2，点a，b，o，c在同一直线上，eb⊥ac，垂足为点b，ab＝ob，en切半圆o于f．
求证：eb，eo就把∠men三等分，
证明：∵eb⊥ac，
∴∠abe＝∠obe＝90°，
∵ab＝ob，be＝be，
∴△abe≌△obe（sas），
∴∠1＝∠2，
∵be⊥ob，
∴be是⊙e的切线，
∵en切半圆o于f，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴eb，eo就把∠men三等分．
故答案为：ab＝ob，en切半圆o于f；eb，eo就把∠men三等分．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2 2x c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点a，b，且oa＝ob，点g为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点g的坐标；
（2）点m，n为抛物线上两点（点m在点n的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点q为抛物线上点m，n之间（含点m，n）的一个动点，求点q的纵坐标yq的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2 2x c与y轴正半轴分别交于点b，
∴点b（0，c），
∵oa＝ob＝c，
∴点a（c，0），
∴0＝﹣c2 2c c，
∴c＝3或0（舍去），
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2 2x 3，
∵y＝﹣x2 2x 3＝﹣（x﹣1）2 4，
∴顶点g为（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2 2x 3＝﹣（x﹣1）2 4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点m，n为抛物线上两点（点m在点n的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点m的横坐标为﹣2或4，点n的横坐标为6，
∴点m坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点n坐标（6，﹣21），
∵点q为抛物线上点m，n之间（含点m，n）的一个动点，
∴﹣21≤yq≤4或﹣21≤yq≤﹣5．
22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点d是上一动点，线段bc＝8cm，点a是线段bc的中点，过点c作cf∥bd，交da的延长线于点f．当△dcf为等腰三角形时，求线段bd的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点d在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段bd，cd，fd的长度，得到下表的几组对应值．
bd/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
cd/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.4
0
fd/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点d为的中点时，bd＝5.0cm”．则上表中a的值是 5 ；
②“线段cf的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段bd的长度作为自变量x，cd和fd的长度都是x的函数，分别记为ycd和yfd，并在平面直角坐标系xoy中画出了函数yfd的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数ycd的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△dcf为等腰三角形时，线段bd长度的近似值（结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）∵点d为的中点，
∴，
∴bd＝cd＝a＝5cm，
故答案为：5；
（2）∵点a是线段bc的中点，
∴ab＝ac，
∵cf∥bd，
∴∠f＝∠bda，
又∵∠bad＝∠caf，
∴△bad≌△caf（aas），
∴bd＝cf，
∴线段cf的长度无需测量即可得到；
（3）由题意可得：
（4）由题意画出函数ycf的图象；
由图象可得：bd＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△dcf为等腰三角形．
23．（11分）将正方形abcd的边ab绕点a逆时针旋转至ab′，记旋转角为α，连接bb′，过点d作de垂直于直线bb′，垂足为点e，连接db′，ce．
（1）如图1，当α＝60°时，△deb′的形状为 等腰直角三角形 ，连接bd，可求出的值为 ；
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点b′，e，c，d为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
【解答】解：（1）∵ab绕点a逆时针旋转至ab′，
∴ab＝ab"，∠bab"＝60°，
∴△abb"是等边三角形，
∴∠bb"a＝60°，
∴∠dab"＝∠bad﹣∠bab"＝90°﹣60°＝30°，
∵ab"＝ab＝ad，
∴∠ab"d＝∠adb"，
∴∠ab"d75°，
∴∠db"e＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵de⊥b"e，
∴∠b"de＝90°﹣45°＝45°，
∴△deb"是等腰直角三角形．
∵四边形abcd是正方形，
∴∠bdc＝45°，
∴，
同理，
∴，
∵∠bdb" ∠b"dc＝45°，∠edc ∠b"dc＝45°，
∴bdb"＝∠edc，
∴△bdb"∽△cde，
∴．
故答案为：等腰直角三角形，．
（2）①两结论仍然成立．
证明：连接bd，
∵ab＝ab"，∠bab"＝α，
∴∠ab"b＝90°，
∵∠b"ad＝α﹣90°，ad＝ab"，
∴∠ab"d＝135°，
∴∠eb"d＝∠ab"d﹣∠ab"b＝135°45°，
∵de⊥bb"，
∴∠edb"＝∠eb"d＝45°，
∴△deb"是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形abcd是正方形，
∴，∠bdc＝45°，
∴，
∵∠edb"＝∠bdc，
∴∠edb" ∠edb＝∠bdc ∠edb，
即∠b"db＝∠edc，
∴△b"db∽△edc，
∴．
②3或1．
若cd为平行四边形的对角线，
点b"在以a为圆心，ab为半径的圆上，取cd的中点．连接bo交⊙a于点b"，
过点d作de⊥bb"交bb"的延长线于点e，
由（1）可知△b"ed是等腰直角三角形，
∴b"db"e，
由（2）①可知△bdb"∽△cde，且bb"ce．
∴1111＝3．
若cd为平行四边形的一边，如图3，
点e与点a重合，
∴1．
综合以上可得3或1．
2020年北京中考数学试卷及答案解析篇3
北京市海淀区2003年高级中等学校招生考试
数学试题
选择题：（本题共78分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。
1.的相反数是（ ）
a. b. c. 3 d.
2. 计算的结果是（ ）
a. 0 b. 1 c. d.
3. 若，则的补角为（ ）
a. b. c. d.
4. 羊年话“羊”，“羊”字象征着美好和吉祥，下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（ ）
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
5. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
6. 2003年5月19日，国家邮政局特别发行“万众一心 抗击‘非典’”邮票，收入全部捐赠给卫生部门，用以支持抗击“非典”斗争，其邮票发行量为12500000枚，用科学记数法表示正确的是（ ）
a.枚 b.枚
c.枚 d.枚
7. 如图，在中，d、e分别是ab、ac边上的中点，
若de ＝4，则bc等于（ ）
a. 2 b. 4 c. 8 d. 12
8. 用换元法解方程，设，则原方程可化为（ ）
a. b.
c. d.
9. 如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)；(2)；(3)中正确的个数为（ ）
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
10. 点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
a. b. c. d.
11. 下列各式中正确的是（ ）
a. b.
c. d.
12. 若两圆相交，则这两圆的公切线（ ）
a. 只有一条 b. 有两条 c. 有三条 d. 有四条
13. 如图，四边形abcd内接于⊙o，e在bc延长线上，若，则等于（ ）
a. b. c. d.
14. 不等式组的解集是（ ）
a. b.
c. d.或
15. 在下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
a. b. c. d.
16. 在中，，则cosa等于（ ）
a. b. c. d.
17. 方程根的情况是（ ）
a. 只有一个实数根 b. 有两个相等的实数根
c.有两个不相等的实数根 d. 没有实数根
18. 已知反比例函数的图象经过点（1，2），则函数可确定为（ ）
a. b. c. d.
19. 如图，在方格纸中有四个图形、、、，其中面积相等的图形是（ ）
a. 和 b. 和 c. 和 d. 和
20. 若，则xy的值等于（ ）
a. b. c. 2 d. 6
21. 如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是（ ）
a. b. c. d.
22. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
a. b.
c. d.
23. 如图，pa切⊙o于点a，po交⊙o于点b，若pa＝6，bp＝4，则⊙o的半径为（ ）
a. b. c. 2 d. 5
24. 某同学在测量体温时意识到体温计的读数与水银柱的长度之间可能存在着某种函数关系，就此他与同学们选择了一种类型的体温计，经历了收集数据、分析数据、得出结论的探索过程，他们收集到的数据如下：
体温计的读数t（℃）
35
36
37
38
39
40
41
42
水银柱的长度l（mm）
56.5
62.5
68.5
74.5
80.5
86.5
92.5
98.5
请你根据上述数据分析判断，水银柱的长度l（mm）与体温计的读数t（℃）（）之间存在的函数关系是（ ）
a. b. c. d.
25. 如图，把纸片沿de折叠，当点a落在四边形bcde内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
a. b.
c. d.
26. 甲、乙两同学约定游泳比赛规则：甲先游自由泳到泳道中点后改为蛙泳，而乙则是先游蛙泳到泳道中点后改为自由泳，两人同时从泳道起点出发，最后两人同时游到泳道终点。又知甲游自由泳比乙游自由泳速度快，并且二人自由泳均比蛙泳速度快，若某人离开泳道起点的距离s与所用时间t的函数关系可用图象表示，则下列选项中正确的是（ ）
a. 甲是图，乙是图 b. 甲是图，乙是图
c. 甲是图，乙是图 d. 甲是图，乙是图
填空题：（本题共21分，每空3分）
27. 如图，点d在ab上，点e在ac上，cd与be相交于点o，
且ad＝ae，ab＝ac，若，则
28. 分解因式： _________
29. 若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a的取值范围是_______
30. 今年5月海淀区教育网开通了网上教学，某校初三年级（8）班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图所示频率分布直方图。已知从左至右各个小组的频率分别是0.15、0.25、0.35、0.20、0.05，则根据直方图所提供的信息，这一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生人数是_________人。如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校初三年级全体学生该天上网学习时间，这样的推断是否合理？_______（填“合理”或“不合理”）
31. 如图，在矩形abcd中，e、f、g、h分别为ab、bc、cd、da的中点，若，四边形efgh的周长为40cm，则矩形abcd的面积为_______。
32. 已知二次函数与x轴交点的横坐标为，则对于下列结论：当时，；当时，；方程有两个不相等的实数根；；，其中所有正确的结论是________（只需填写序号）
解答题：（本题共21分，第33题5分，第34题7分，第35题9分）
33. 某同学在a、b两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市a所有商品打八折销售，超市b全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
34. 已知：以的直角边ab为直径作⊙o，与斜边ac交于点d，e为bc边上的中点，连结de。
（1）如图，求证：de是⊙o的切线；
（2）连结oe，ae，当为何值时，四边形aoed是平行四边形，并在此条件下求的值。
（第（2）问答题要求：不要求写出解题过程，只需将结果填写在答题卡相应题号的横线上。）
35. 已知：如图，点a在y轴上，⊙a与x轴交于b、c两点，与y轴交于点d（0，3）和点
（1）求经过b、e、c三点的二次函数的解析式；
（2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙a于点p（s，t），与x轴交于点m，连结pa并延长与⊙a交于点q，设q点的纵坐标为y，求y关于t的函数关系式，并观察图形写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当y＝0时，求切线pm的解析式，并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线pm下方的点的横坐标x的取值范围。
【参考答案】
选择题：（本题共78分，每小题3分）
1. c 2. b 3. d 4. b 5. a
6. c 7. c 8. a 9. d 10. d
11. c 12. b 13. b 14. c 15. a
16. a 17. d 18. a 19. a 20. a
21. d 22. d 23. b 24. c 25. b
26. c
填空题：（本题共21分，每空3分）
27. 20 28.
29. 30. 14，不合理
31. 192 32.
解答题：（本题共21分，第33题5分，第34题7分，第35题9分）
33. 解：（1）解法一：设书包的单价为x元，则随身听的单价为元
根据题意，得 ……1分
解这个方程，得
答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。 ……2分
解法二：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元
根据题意，得 ……1分
解这个方程组，得
答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。 ……2分
（2）在超市a购买随身听与书包各一件需花费现金：
（元）
因为，所以可以选择超市a购买。 ……3分
在超市b可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：
（元）
因为，所以也可以选择在超市b购买。 ……4分
因为，所以在超市a购买更省钱。 ……5分
34. （1）证法一：连结od、db
ab是⊙o的直径
e为bc边上的中点
……1分
……2分
在中，
d为⊙o上的点
de是⊙o的切线 ……3分
证法二：连结od、oe
e为bc边上的中点，o为ab边上的中点
……1分
……2分
为直角三角形
d为⊙o上的点
de是⊙o的切线 ……3分
（2）解： ……4分
……7分
35. 解：（1）解法一：连结ac
de为⊙a的直径，
在中，
设经过b、e、c三点的抛物线的解析式为，则
解得
……2分
解法二： de为⊙a的直径，
以下同解法一
（2）解法一：过点p作轴于f，过点q作轴于n
，f点的纵坐标为t
n点的纵坐标为y
动切线pm经过第一、二、三象限
观察图形可得
即
关于t的函数关系式为 ……5分
解法二：（i）当经过一、二、三象限的切线pm运动到使得q点与c点重合时，
连结pb
pc是直径
轴
即时，
（ii）当经过一、二、三象限的切线
pm运动使得q点在x轴上方时，
观察图形可得
过p作轴于s，过q作轴于t
则ps//ao//qt
点a为线段pq的中点
点o为线段st的中点
ao为梯形qtsp的中位线
（iii）当经过一、二、三象限的切线pm运动使得q点在x轴下方时，，观察图形可得
过作轴于s，过q作轴于t，设pq交x轴于r
则qt//ps
设，则
又轴，
由(1)、(2)得
综上所述：y与t的函数关系式为 ……5分
（3）解法一：当时，q点与c点重合，连结pb
pc为⊙a的直径
即轴
将代入，得
设切线pm与y轴交于点i，则
在与中
i点坐标为（0，5）
设切线pm的解析式为
p点的坐标为
解得
切线pm的解析式为 ……7分
设切线pm与抛物线交于g、h两点
由可得
因此，g、h的横坐标分别为
根据图象可得抛物线在切线pm下方的点的横坐标x的取值范围是
……9分
解法二：同（3）解法一
可得
直线pm为⊙a的切线，pc为⊙a的直径
在与中
设m点的坐标为（m，0）
则
即
设切线pm的解析式为，得
解得
切线pm的解析式为 ……7分
以下同解法一。
翁正云供稿
2020年北京中考数学试卷及答案解析篇4
2012年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷（答案）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 的相反数是
a． b． c． d．9
2． 首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为
a． b． c． d．
3． 正十边形的每个外角等于
a． b．
c． d．
4． 右图是某个几何体的三视图，该几何体是
a．长方体
b．正方体
c．圆柱
d．三棱柱
5． 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是
a． b． c． d．
6． 如图，直线，交于点，射线平分，若，则等于
a． b．
c． d．
7． 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
用电量（度）
120
140
160
180
200
户数
2
3
6
7
2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是
a．180，160 b．160，180 c．160，160 d．180，180
8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的
a．点 b．点 c．点 d．点
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 分解因式： ．
10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高 ．
12．在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点是轴正半轴上的整点，记内部（不包括边界）的整点个数为．当时，点的横坐标的所有可能值是 ；当点的横坐标为（为正整数）时， （用含的代数式表示．）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：.
14．解不等式组：
15．已知，求代数式的值．
16．已知：如图，点在同一条直线上，，
．
求证：.
17．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象的交点为.
（1）求一次函数的解析式；
（2）设一次函数的图象与轴交于点，若是轴上一点， 且满足的面积是4，直接写出点的坐标．
18．列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形中，对角线交于点，
．求的长和四边形的面积．
20．已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）连结并延长交于点，若，求的长．
21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？
（3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？
22．操作与探究：
（1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点.
点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为．如图1，若点表示的数是，则点表示的数是 ；若点表示的数是2，则点表示的数是 ；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（），得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标。
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知二次函数
在和时的函数值相等。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；
（3）设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。
24．在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。
（1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；
（2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。
25．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为；
若，则点与点的“非常距离”为.
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）。
（1）已知点，为轴上的一个动点，
①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；
②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；
（2）已知是直线上的一个动点，
①如图2，点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；
②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”
的最小值及相应的点和点的坐标。
2012年北京中考数学试卷分析
一、各个知识板块所占分值
二、各个知识板块考查的难易程度
三、试卷整体难度特点分析
2012年北京中考数学刚刚结束, 今年试卷整体呈现出“新颖”的特点，与近几年中考试题以及今年一模、二模试题有比较大的差异。总体难度与去年持平，但是最难的题目难度并没有去年高。考生做起来会感觉不太顺手，此份试卷对于优秀学生的区分度将会比去年大，而对于中当学生的区分度将不会有太大变化。
此份试卷呈现出以下几个特点：
1.题目的背景和题型都比较新颖。例如选择题的第8题、解答题第25题，尤其是25题第一次在代数题目中用到了定义新运算，题目很新颖，知识点融合度较高。考察的方式都是平常同学们很少见到的题型。
2.填空题第12题试题结构与往年不同，考察观察能力和精确作图能力。本试卷的填空题第12题，需要同学们在试卷上画出比较精确的线段才能很好的发现其中的规律，而所体现的规律本身并不复杂，是一个等差数列问题。
3.弱化了对于梯形的考察。解答题第19题并没有像之前一样是一道题型的问题，取而代之的是一道四边形的题目。难度并不大。
4.与圆有关的题目增多，例如选择题第8题、解答题第20题。解答题第24题第二问也可以通过构造辅助圆来解决。
5.考察学生对于知识点的深入理解能力。解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。
四、试题重点题目分析
（2012年北京中考第23题）
23．已知二次函数
在和时的函数值相等。
（4）求二次函数的解析式；
（5）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；
（6）设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。
【解析】⑴ 由题意可知依二次函数图象的对称轴为
则。
∴
∴
⑵ ∵因二次函数图象必经过点
∴
又一次函数的图象经过点
∴，∴
⑶ 由题意可知，点间的部分图象的解析式为，
则向左平移后得到的图象的解析式为
此时平移后的解析式为
由图象可知，平移后的直线与图象有公共点，
则两个临界的交点为与
则
∴
【评价】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n的取值范围。
（2012年北京中考第24题）
24．在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。
（1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；
（2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。
【解析】
⑴ ，
⑵ 连接，易证
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
⑶ ∵且
∴
∵点不与点重合
∴
∴
∴
【评价】此题并没有考察常见的动点问题，而是将动点问题和几何变换结合在一起，应用一个点构造2倍角。需要同学们注意图形运动过程中的不变量，此题可以用倒角（上述答案的方法）或是构造辅助圆的方法解决。
2013年24．在△abc中，ab=ac，∠bac=（），将线段bc绕点b逆时针旋转60°得到线段bd。
图1 图2
（1）如图1，直接写出∠abd的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠bce=150°，∠abe=60°，判断△abe的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结de，若∠dec=45°，求的值。
24．（本小题满分7分）
解：（1）……………………………………………………………1分
（2）△abe是等边三角形．………………………………………………………2分
证明：连结ad，cd．
∵ ∠dbc=60°，bd=bc，
∴ △bdc是等边三角形，∠bdc=60°，bd=dc…………………3分
又∵ ab=ac，ad=ad，
∴ △abd≌△acd．
∴ ∠adb=∠adc，
∴ ∠adb=150°．………………4分
∵ ∠abe=∠dbc=60°，
∴ ∠abd=∠ebc．
又∵ bd=bc，∠adb=∠ecb=150°，
∴ △abd≌△ebc．
∴ ab=eb．
∴ △abe是等边三角形．…………………………………………5分
（3）解：∵ △bdc是等边三角形，
∴ ∠bcd=60°．∴ ∠dce=∠bce-∠bcd=90°
又∵ ∠dec=45°，
∴ ce=cd=bc．…………6分
∴ ∠ebc=15°．
∵ ∠ebc=∠abd=30°-，
∴ α=30°．……………………………………………………………7分
2014年24． 在正方形abcd外侧作直线ap，点b关于直线ap的对称点为e，连接be，de，其中de交直线ap于点f．（1）依题意补全图1；
（2）若∠pab=20°，求∠adf的度数；
（3）如图2，若45°
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